a). Caída Libre
Denotemos con el espacio recorrido en el tiempo por un cuerpo que cae libremente bajo la acción de la gravedad. Entonces
b) Caída con movimiento retardado.
Si suponemos que el aire ejerce una resistencia proporcional a la velocidad del cuerpo de masa la segunda ley de Newton nos dice que
Si suponemos que ( el cuerpo parte del reposo) (1.1.10) toma la forma
De (1.1.11) se deduce que ésto es, la velocidad de caída tiende a estabilizarse.
c) Descomposición radactiva.
Si llamamos la cantidad de material radiactivo que se descompone con el transcurso del tiempo, la ecuación diferencial que rige dicha descomposición se rige por medio del siguiente problema de valor inicial
donde es una constante que depende del material que consideremos. El signo menos indica que estamos ante un proceso de descomposición. Con indicamos la cantidad de material con la que se inicia el proceso de descomposición. La solución al problema (1.1.12) es
La vida media del material es el tiempo necesario para que el material se reduzca a la mitad, ésto es
De (1.1.14) se deduce que
Observemos que la vida media no depende de la cantidad inicial del material. Un gramo de plutonio y una tonelada del mismo se reducen a su mitad en el mismo tiempo Willard Libby descubrió en 1940 el radio carbono o carbono 14, un isótopo del carbono, y estableció su vida media en 5600 años. Este descubrimiento permitió establecer fechas de vida de organismos que vivieron en épocas prehistóricas.Por sus hallazgos Libby obtuvo el premio Nobel de Química en 1960 .
d) Espejos parabólicos.
Los espejos parabólicos tienen la siguiente propiedad:un rayo de luz emitido desde su foco se refleja en la dirección horizontal de su eje. Veámoslo en la figura:
Entonces por la ley de reflexión de la luz. Además es claro que y Ahora,
De (1.1.16) obtenemos
La ecuación (1.1.17) la podemos escribir así:
Integramos a ambos lados de (1.1.18) y obtenemos
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